積分について考えてみよう！
積分って、高校の数学で習って、受験用に問題を解いたりはできるようになったけど、積分にどういう意味があるのかってのがわかってきたのは大学の2、3年生の頃だった気がする。
特に、円周を積分して円の面積を求められるとわかったことが印象深かった。
そんなことを思い出したので、ちょっと積分の解釈について書いてみることにした。
検索しても余りこれというのが見つからなかったもので。
以下の図のような二次関数を例に考える。
x軸とx=5の直線とこの二次関数で囲まれた部分の面積を求めてみる。
曲線なので、単純な掛け算では求まらないはず。
積分を使えば、以下のような感じで、訳はわからないけど、答えは簡単に求まる。
これは、41と2/3となる。
さて、積分の公式は使わないで、積分の考え方に沿って、この問題を解いてみたい。
まず、いきなり正確な面積を求めるのではなく、簡単な問題に近似して考える。
以下の図のように、区間を区切って長方形のところの面積を求めて、曲線に面した部分は誤差だとしてあきらめるとしよう。
一旦、分割数をnとして左から順番に1番目、2番目と番号をつけていき、k番目の面積を求めてみる。
区間をx=αからx=βまでとおく。
最初の図の例では、xが0から5までの区間の面積なので、α=0、β=5ということになるんだけど、せっかくなので、ちょっと一般的に書いてみる。
区間をn個に分割しているので、長方形の横の長さが区間の長さをn個に分割したうちの1つになる。
k番目の長方形の左端の座標は、αから始まって、n分割したうちのk個分右へ動いた場所なので、以下のように決まるはず。
式を簡単にするため、kは0から始まることにする。
つまり、0番目の長方形の左端の座標がαになる。
そうするとk番目の長方形の左上のy座標は、二次関数の上にある点なので、２乗すれば求まる。
これで、横の長さと縦の長さがわかるので、k番目の長方形の面積Skは、以下のように書ける。
あとは、これをkが0番目からn-1番目まで足し合わせれば近似した面積が求まるはず。
で、計算していきたいところなんだけど、この式を計算していくと複雑でわかりづらくなってしまうので、当初の目的に戻って、最初の図の問題の値を入れて計算を進めることにしたい。
面積を求める部分は、xが0～5の部分なので、α=0、β=5ということになる。
これを代入すると、以下のようになる。
では、試しに、5つに分割した場合、つまりn=5を代入してみる。
すると、125とnの3乗が打ち消しあって、Skはkの2乗で計算できるから、全体の面積は、k=0からk=4まで足せば良いので、
0の2乗 + 1の2乗 + 2の2乗 + 3の2乗 + 4の2乗
= 0 + 1 + 4 + 9 + 16
= 30
となり、積分で求めた場合と比較すると、誤差はが11と2/3も出てしまっている。
では、10に分割した場合を計算してみると、
125 ÷ 10の3乗 × (0の2乗 + 1の2乗 + 2の2乗 + 3の2乗 + 4の2乗 + 5の2乗 + 6の2乗 + 7の2乗 + 8の2乗 + 9の2乗)
= 125 × (0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81) ÷ 1000
= 125 × 285 ÷ 1000
= 35.625
となり、誤差はだいぶ少なくなる。
こんな感じで、nを大きくしていけば誤差は小さくなるはずなんだけど、計算は大変になる。
もうちょっと賢く答えを求めたいところ。
要するに以下を求められれば良いので、数列の和を求める問題になる。
この数列の和の求め方までやると、長くなるので、詳しくは以下を参照ということにして、ここは公式に頼りたい。
これを利用して、計算していくと、求めようとしている面積は以下のようになる。
ということで、面積は、分割数nによって決まる値になる。
ここで、nは大きいほど誤差が小さくなるので、nを思いっきり大きくした場合を考える。
そうすると、分数は分母が大きいほど値が小さくなるので、分母が無限に大きくなれば0に近づくことになる。
したがって、求める面積は、結局のところ以下のようになることになる。
これは、最初の方に示した積分の公式を使った方法と一致する。
逆に言うと、積分は、このような長方形による近似を考えた場合に分割数を極限まで多くした時の計算法という意味合いがある。
なんとなく積分が何なのかわかったような気になったよな．．．
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